牛顿莱布尼茨公式的故事牛顿莱布尼兹公式

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1、若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a,b]上可积，且 b(上限)∫a(下限)f(x)dx=F(b)-F(a) 这即为牛顿-莱布尼茨公式。

2、牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。

3、下面就是该公式的证明全过程: 我们知道，对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为: b(上限)∫a(下限)f(x)dx 现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数: Φ(x)= x(上限)∫a(下限)f(x)dx 但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。

4、为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了: Φ(x)= x(上限)∫a(下限)f(t)dt 接下来我们就来研究这个函数Φ(x)的性质: 定义函数Φ(x)= x(上限)∫a(下限)f(t)dt，则Φ’(x)=f(x)。

5、证明:让函数Φ(x)获得增量Δx，则对应的函数增量 ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt 显然，x+Δx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt=x+Δx(上限)∫x(下限)f(t)dt 而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x(下限)f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x与x+Δx之间，可由定积分中的中值定理推得，也可自己画个图，几何意义是非常清楚的。

6、) 当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x)，故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x) 可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’(x)=f(x)。

7、 2、b(上限)∫a(下限)f(x)dx=F(b)-F(a)，F(x)是f(x)的原函数。

8、证明:我们已证得Φ’(x)=f(x)，故Φ(x)+C=F(x) 但Φ(a)=0(积分区间变为[a,a]，故面积为0)，所以F(a)=C 于是有Φ(x)+F(a)=F(x)，当x=b时，Φ(b)=F(b)-F(a), 而Φ(b)=b(上限)∫a(下限)f(t)dt，所以b(上限)∫a(下限)f(t)dt=F(b)-F(a) 把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。

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